绪论

随机变量及其分布是概率论的重点，本章主要讨论一维随机变量及其分布。

1. 随机变量及其分布函数¶

随机变量：定义在样本空间上的实值函数，常用大写字母表示，取值常用小写字母表示。

分布函数：对于一个随机变量，定义$F(x)=P(X\leq x)$为分布函数，称X服从$F(x)$.满足下列三种基本性质： - 单调性 - 有界性 - 右连续性

离散随机变量：分布列（非负性，正则性）

连续随机变量：密度函数（非负性，正则性）

2. 随机变量的数学期望¶

根据分布计算随机变量的特征数（均值，方差，分位数），侧面反映分布的特征。下介绍最重要的特征数：数学期望。

起源：分赌本问题均值：算术平均，加权平均（根据频率）离散表达式：$E(x)=\sum x_{i}p(x_{i})$ (当且仅当绝对收敛的时候，此时唯一) 连续表达式：$E(s)=\int xp(x) \, dx$ 物理解释：重心统计学作用：消除随机性的重要手段

数学期望的性质： $E(c)=c$ $E(aX)=aE(x)$ $E(g_{1}+g_{2})=E(g_{1})+E(g_{2})$

3. 随机变量的方差与标准差¶

方差：对于随机变量$X$的均值a，定义新的随机变量$(x-a)^2$，其均值称作方差。 $Var(X)=E(x-E(x))^2$

标准差：定义方差的平方根：$\sqrt{ Var(x) }=\sigma(X)$

作用：都刻画$X$的波动程度（集中与分散程度）。方差/标准差越小，取值愈集中。

注：由于标准差的量纲与数学期望一致，标准差的使用倾向更大。期望存在，方差不一定存在。但方差存在，期望一定存在。

性质*： 1.$Var(X)=E(X^2)-[E(x)]^2$ 2.常数的方差为0 3.$Var(aX+b)=a^2Var(X)$ 4.切比雪夫不等式（chebyshev）： $$ P(\mid X-E(x)|\geq \sigma) \leq \frac{Var(X)}{\sigma^2} $$ 对于切比雪夫不等式，描述了这样一个现实：大偏差（$X-E(x)$）的概率，称作偏差发生概率，其上界与方差成正比，方差愈大，其上界愈大。

4. 常用的几种分布（离散）¶

二项分布定义：描述在 $ n $ 次独立重复的伯努利试验中，成功次数 $ X $ 的概率分布。 概率质量函数$$P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}, \quad k=0,1,\dots,n$$期望与方差： $$E(X)=np,\quad Var(X)=np(1-p)$$应用：适用于结果只有两种（成功/失败）的重复独立试验。

泊松分布定义：描述在单位时间（或空间）内，随机事件发生次数的概率分布。 概率质量函数： $$ P(X=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k=0,1,2,\dots$$**期望与方差**：$$E(X)=\lambda,\quad Var(X)=\lambda$$应用：稀有事在一定时间或区间内发生次数的建模。

关系：泊松分布可以作为二项分布的近似（泊松定理：当 $n$ 很大、$p$ 很小，且 $np$ 适中时，泊松分布可作为二项分布的近似 $\lambda = np$ ）

超几何分布定义：描述在不放回抽样中，从包含 $ M $ 个成功个体和 $ N-M $ 个失败个体的总体中抽取 $ n $ 个个体，其中成功个体数 $ X $ 的分布。 概率质量函数： $$ P(X=k)=\frac{CM^k C^{n-k}}{C_Nn}$$期望与方差： $$ E(X)=n\cdot\frac{M}{N},\quad Var(X)=n\cdot\frac{M}{N}\cdot\left(1-\frac{M}{N}\right)\cdot\frac{N-n}{N-1}$$应用：适用于不放回抽样的质量控制或抽样调查。

几何分布定义：描述在多次独立伯努利试验中，首次成功所需试验次数 $ X $ 的概率分布。 概率质量函数： $$P(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\quad k=1,2,\dots$$期望与方差： $$ E(X)=\frac{1}{p},\quad Var(X)=\frac{1-p}{p^2}$$应用：用于建模在多次尝试中首次获得成功所需的次数。

负二项分布定义：描述在独立重复试验中，获得第 $ r $ 次成功所需试验次数 $ X $ 的概率分布。 概率质量函数： $$P(X=k)=C_{k-1}^{r-1}p^r(1-p)^{k-r},\quad k=r,r+1,\dots$$**期望与方差**：$$E(X)=\frac{r}{p},\quad Var(X)=\frac{r(1-p)}{p^2}$$应用：适用于需要多次成功的情境，如多次试验直到达成特定目标。

5. 常用的几种分布（连续）¶

正态分布定义：又称高斯分布，是连续型概率分布中最重要的一种，由均值 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$决定。 概率密度函数： $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\quad -\infty<x<\infty$$期望与方差： $$E(X)=\mu,\quad Var(X)=\sigma^2$$ 应用：广泛应用于自然科学和社会科学中的数据建模。

均匀分布定义：在区间 $[a,b]$ 内，每个点出现的概率相等的分布。 概率密度函数： $$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a\le x\le b \ 0, & \text{otherwise} \end{cases} $$期望与方差： $$ E(X)=\frac{a+b}{2},\quad Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$$应用：适用于在某个区间内等可能取值的随机现象。

指数分布定义：描述泊松过程中事件发生时间间隔的概率分布。 概率密度函数： $$f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\quad x\ge0$$期望与方差： $$E(X)=\frac{1}{\lambda},\quad Var(X)=\frac{1}{\lambda^2}$$应用：常用于可靠性分析和排队论，描述无记忆性的随机时间间隔。

伽马分布定义：指数分布的推广，描述多个独立指数分布随机变量之和的分布。 概率密度函数： $$ f(x)=\frac{\beta^{\alpha}{\Gamma(\alpha)}x},\quad x>0$$}e^{-\beta x期望与方差： $$ E(X)=\frac{\alpha}{\beta},\quad Var(X)=\frac{\alpha}{\beta^2} $$应用：适用于对连续正随机变量建模，如等待时间的总和。

贝塔分布定义：定义在区间 $[0,1]$ 上的连续概率分布，由两个正参数 $\alpha$ 和 $\beta$ 决定。 概率密度函数： $$f(x)=\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)},\quad 0\le x\le1$$期望与方差： $$E(X)=\frac{\alpha}{\alpha+\beta},\quad Var(X)=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$$应用：常用于表示概率的概率分布，适用于比例或百分比的建模。

卡方分布定义：是 k 个独立标准正态随机变量的平方和所服从的分布，其中k为自由度。 概率密度函数： $$f(x)=\frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}x^{k/2-1}e^{-x/2},\quad x>0$$期望与方差： $$ E(X)=k,\quad Var(X)=2k$$应用：主要用于假设检验和置信区间的构建，特别是方差分析和拟合优度检验。

6. 分布的其他特征数¶

$k$阶原点矩 - $\mu_{k}= E(X^k)$ - 一阶原点矩：数学期望

$k$阶中心矩 - $\nu_{k}= E(X-E(X))^k$ - 二阶中心矩：方差

二者存在对应关系

变异系数：标准差比期望（消除量纲的影响）

分位数：分为两块（下侧，上侧）

中位数：均分的分位数

偏度系数：描述分布偏离对称性的程度（三阶中心矩/二阶中心矩的3/2次方）

峰度系数：描述分布尖峭程度或尾部粗细（四阶中心矩/二阶中心矩的2次方 -3）